← Matemática sem mistério

O dilema do prisioneiro: por que duas pessoas completamente racionais, agindo no próprio interesse, chegam a um resultado pior para ambas do que se tivessem cooperado.

O que é teoria dos jogos?

A teoria dos jogos (em inglês: game theory) é o ramo da matemática que estuda tomadas de decisão em situações onde o resultado de cada pessoa depende das escolhas das outras. Não é sobre jogos de tabuleiro — é sobre qualquer interação estratégica: negociações, leilões, guerras de preço entre empresas, política internacional e até evolução biológica.

O campo foi formalizado pelo matemático húngaro-americano John von Neumann e o economista Oskar Morgenstern no livro "Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico" (em inglês: Theory of Games and Economic Behavior), publicado em 1944.

O dilema do prisioneiro

Dois suspeitos são presos e interrogados em salas separadas, sem comunicação. Cada um pode cooperar (ficar em silêncio) ou trair (delatar o outro). Os resultados:

Para A: se B coopera, A fica melhor traindo (livre vs 1 ano). Se B trai, A ainda fica melhor traindo (5 vs 10 anos). Trair é a estratégia dominante (em inglês: dominant strategy) para A — e, pela mesma lógica, para B. Resultado: ambos traem e ficam 5 anos, quando poderiam ter ficado 1 ano cada.

Equilíbrio de Nash

John Nash (1928-2015), matemático americano retratado no filme "Uma Mente Brilhante" (em inglês: A Beautiful Mind), formalizou o conceito que leva seu nome: um equilíbrio de Nash (em inglês: Nash equilibrium) é um conjunto de estratégias onde nenhum jogador melhora mudando apenas sua própria estratégia, mantendo as dos outros fixas.

No dilema do prisioneiro, "ambos traem" é o equilíbrio de Nash — nenhum dos dois tem incentivo unilateral para mudar. Mesmo que o resultado coletivo seja pior do que "ambos cooperam", a lógica individual leva inevitavelmente a esse ponto.

Nash provou que todo jogo finito com número finito de jogadores tem pelo menos um equilíbrio — possivelmente em estratégias mistas (onde os jogadores aleatorizam entre opções). Esse resultado, o "Teorema de Nash" (em inglês: Nash's theorem), lhe valeu o Prêmio Nobel de Economia em 1994.

Jogos repetidos e a estratégia Tit-for-Tat

O dilema do prisioneiro num único encontro tem uma solução clara: trair. Mas e se os mesmos dois jogadores se encontram muitas vezes?

Em jogos repetidos (em inglês: repeated games), cooperação pode emergir. O cientista político Robert Axelrod realizou em 1984 um torneio de dilema do prisioneiro iterado entre programas de computador — e a vencedora foi a estratégia mais simples: Tit-for-Tat.

Tit-for-Tat (literalmente "olho por olho"): coopera na primeira rodada, depois copia exatamente o que o adversário fez na rodada anterior. Ela é:

Gentil — começa cooperando, nunca é a primeira a trair. Retaliatória — pune imediatamente qualquer traição. Perdoadora — volta a cooperar se o adversário cooperar. Clara — fácil de entender e de antecipar. Essas quatro características juntas tornam-na imbatível no longo prazo.

Teoria dos jogos no cotidiano

Guerra de preços: quando duas empresas baixam preços mutuamente até o limite da lucratividade, estão presas num equilíbrio de Nash subótimo — ambas ganhariam mais se pudessem coordenar (mas isso é cartel, ilegal).

Leilões: quanto dar num leilão de lance fechado? A estratégia ótima depende do tipo de leilão. Em leilões Vickrey (em inglês: Vickrey auction), onde o ganhador paga o segundo maior lance, a estratégia dominante é dar exatamente quanto o item vale para você — honestidade é ótima.

Corrida armamentista: dois países que armam simultaneamente se veem num dilema do prisioneiro clássico — ambos investem em armamentos caros para se proteger um do outro, quando poderiam gastar menos cooperando.

← Voltar para Matemática sem mistério