PA e PG, crescimento linear vs exponencial (em inglês: arithmetic and geometric progressions)
Progressões Aritméticas e Geométricas
Qual a diferença entre ganhar R$100 a mais por mês e dobrar seu dinheiro todo mês — e por que a diferença é absurda a partir de um certo ponto.
🪜 PA vs PG — crescimento linear vs exponencial
Progressão Aritmética — crescimento constante
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência onde a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma, chamada de razão da PA.
Exemplos: 2, 4, 6, 8, 10 (razão = 2) / 100, 200, 300, 400 (razão = 100) / 1, 1, 1, 1 (razão = 0, PA constante).
A fórmula da soma de uma PA é particularmente elegante: é simplesmente a média do primeiro e do último termo, multiplicada pelo número de termos. O jovem Gauss chegou a esse resultado na escola primária, somando os números de 1 a 100 em segundos: (1+100) × 100/2 = 5.050.
Progressão Geométrica — crescimento multiplicativo
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência onde o quociente entre termos consecutivos é sempre o mesmo, chamado de razão da PG. Cada termo é o anterior multiplicado pela razão.
Exemplos: 1, 2, 4, 8, 16 (razão = 2) / 1.000, 100, 10, 1 (razão = 0,1).
Os juros compostos são uma PG: cada período, o saldo é multiplicado por (1 + taxa). Por isso o crescimento exponencial parece lento no início e absurdo no final.
🌾 O tabuleiro de xadrez — a PG mais famosa da história
A lenda diz que o inventor do xadrez pediu ao rei como recompensa: 1 grão de arroz na primeira casa, 2 na segunda, 4 na terceira, dobrando até a 64ª casa. O rei achou barato e aceitou.
O total seria 2⁶⁴ − 1 ≈ 18,4 quintilhões de grãos — mais do que toda a produção de arroz da humanidade nos últimos 1.000 anos. A PG com q=2 e apenas 64 termos produz um número que supera a compreensão intuitiva.
PA vs PG: quando a PG supera
No início, a PG pode ser menor que a PA. Compare: PA que começa em R$1.000 e cresce R$500 por mês, vs PG que começa em R$1.000 e cresce 20% ao mês:
📊 Comparação prática (valores em R$)
| Mês | PA (+R$500/mês) | PG (+20%/mês) |
|---|---|---|
| 1 | R$1.000 | R$1.000 |
| 3 | R$2.000 | R$1.440 |
| 6 | R$3.500 | R$2.986 |
| 10 | R$5.500 | R$6.192 |
| 15 | R$8.000 | R$15.407 |
| 24 | R$12.500 | R$79.497 |
A PG ultrapassa a PA no mês 10 e depois a deixa para trás exponencialmente. Isso ilustra o principal perigo de raciocinar sobre crescimento exponencial: o início parece decepcionante, então desistimos — justo antes do ponto em que a curva começa a explodir.
PG e viralização nas redes sociais
Quando um vídeo é compartilhado por 3 pessoas, cada uma das quais compartilha com outras 3, estamos diante de uma PG com q=3. Na geração 0: 1 pessoa. Geração 1: 3. Geração 2: 9. Geração 10: 59.049. Geração 20: mais de 3,4 bilhões — a população global.
É por isso que conteúdo verdadeiramente viral (onde a taxa de compartilhamento é maior que 1) pode atingir bilhões de pessoas em poucos dias. E por que conteúdo com taxa menor que 1 se extingue.
Em epidemiologia, o número R₀ (número de reprodução básica, em inglês: basic reproduction number) segue a mesma lógica da PG: se R₀ > 1, a doença se espalha exponencialmente. Se R₀ < 1, ela se extingue. Toda a estratégia de controle de pandemias se resume a manter R₀ abaixo de 1.
Resumindo em 4 pontos
- PA: diferença constante entre termos. Crescimento linear — linha reta num gráfico.
- PG: razão constante entre termos. Crescimento exponencial — curva que acelera continuamente.
- PG começa menor que PA mas eventualmente a ultrapassa — e nunca mais olha para trás.
- Juros compostos, viralização e epidemias são todos fenômenos de PG no mundo real.